6.4 Propiedades de números racionales

1. Propiedades de los números racionales

1. Cerradura El conjunto de los números racionales Q es cerrado bajo Las operaciones × y +. Esto es, dados dos números racionales, la suma es un número racional y la multiplicación es un número racional.

Ejemplo: 3/2 y -4/3 son números racionales y 3/2 + -4/3 =1/6, también es número entero.

Ejemplo: 4/2 y -5/3 son números racionales y 4/2 × (-5/3)=-20/6, también es número racional.

2. conmutativa Si a y b son números racionales entonces

(2.1) a+b=b+a

(2.2) a×b=b×a

Ejemplo: 3/2 + (-4/5) =7/10=(-4/5) + 3/2

Ejemplo: 4/3 × (-5/2)=-20/6=(-5/2) × 4/3

3. Asociativa Si a, b y c son números racionales entonces se cumple

(3.1) a + ( b + c ) = ( a + b) + c

(3.2) a × ( b × c ) = ( a × b) × c

Ejemplo: (-3/6) + ( 4/6 + 5/6)=1=(-3/6 + 4/6) + 5/6

Ejemplo: (-3/2) × ( 4/2 × 5/2)=-60/8=((-3/2) × 4/2)) × 5/2

4. Distributiva Si a, b y c son números racionales entonces se cumple

a × ( b + c) = a × b + a × c

Ejemplo: (-3/6) × ( 4/6 + 5/6)=-27/36=(-12/36)+(-15/36)=((-3/6) × 4/6) + ((-3/6) × 5/6)

5. Neutro multiplicativo Si a es un número racional, existe un número racional

denotado por 1/1 que cumple

a×1=a

Ejemplo: -3/2 × 1/1=-3

6. Neutro aditivo Para todo número racional a/b existe un número racional 0/1 tal que se cumple

a/b+0/1=0/1+a/b=a/b

Ejemplo: -3/2 + 0/1 = 0/1 + -3/2= -3/2

7. Inverso aditivo Si a/b es un número racional entonces existe único número racional c/d tal que se cumple

a/b+c/d=c/d+a/b=0

Ejemplo: -3/2 + 3/2 = 3/2 + -3/2=0

8. Cancelación Si a/b, c/d y n/m son números racionales entonces se cumplen

(8.1) Si a/b + n/m = c/d + n/m entonces a/b = c/d.

(8.2) Si n/m ≠ 0 y a/b × n/m = c/d × n/m entonces a/b = c/d.

9. Inverso multiplicativo Si a/b es un número racional diferente de 0, entonces existe un número racional c/d tal que:

a/b × c/d=1/1

10. Tricotomía Si a/b y c/d son números racionales, se cumple una y sólo una de la

   siguientes desigualdades

   (10.1)                             a/b=c/d

   (10.2)                             a/b<c/d

   (10.3)                             a/b>c/d

Ejemplo: Para -5/2 y 3/2, se cumple únicamente la proposición: -5/2 < 3/2

2. Orden en los números racionales

Pregunta. ¿Qué varilla es más gruesa, la de 3/8 ó la de 1/2?

Respuesta: 1/2=4/8, es mayor que 3/8, puesto que 4/8-3/8=1/8 >0. Por lo que la varilla de 1/2 es más gruesa que la varilla de 3/8.

Definición: Si a/b y c/d son números racionales entonces a/b > c/d si, y sólo si,

a/b - c/d > 0

Ejemplo:

A) 1/2 > 1/3 puesto que 1/2 - 1/3= 1/6 >0

B) -1/3 > -1/2 ya que -1/3 - -(1/2)= 1/6 > 0

Teorema [Densidad]: Si u y w son números racionales con u < w, entonces existe un número racional v tal que u < v < w.

Demostración: Sean u y w números racionales con u < w. Entonces: 2u < u+w y u+w < 2w. Por lo que: 2u<u+w<2w, es decir, u<(u+w)/2 <w

Ejemplo: Hallar un número racional entre 5.21 y 5.22

Solución: 5.21=521/100 y 5.22=522/100

Por lo que el número racional (521/100+ 522/100)/2= 1043/200=5.215 cumple con la condición de que:

5.21<5.215<5.22

2. Ejercicios para asesorías

1 ) Indicación: Escribir la propiedad que se describe en cada situación.

a) 7/3 + 4/5= 4/5 + 7/3

b) 4/5 × 1/1=4/5

c) a/b × 3/5=c/d × 3/5 implica a/b=c/d

d) 4/3+(3/5+29/5)=(4/3+3/5)+29/5

e) 5/4 + 0 = 5/4

f) 3/2 × (14/2)=3/2 × 10/2 + 3/2 × 4/2

g) 6/4 + -6/4 = 0/1

h) 3/2 × 2/3=1/1

2) Ordenar de menor a mayor los siguientes números

5/4, 2.65, 4/5, -1/4, -0.9, 7/8, 3, 2 1/2, 0.005, -0.005, 9/8

3) Hallar un número racional entre los siguientes números racionales

a) 1/3 y 1/2

b) 4.5 y 4.56

c) 5/6 y 6/7

4. La suma de una fracción con su inverso multiplicativo es 26/5, la diferencia con su inverso multiplicativo es 24/5. Hallar las fracciones.