6.2 Racionales <-> Decimales

¿Porqué los matemáticos prefieren las expresiones racionales de la fracciones que las expresiones decimales?
Respuesta: Es más rápido hacer operaciones con fracciones que con las expresiones decimales. Por ejemplo, es mas fácil resolver la siguiente operacion en fracciones:
1/3 * 2 /9= 2/27
Qué la misma operación con los mismos números pero, expresados en forma decimal siguiente:
0.3⁻ *  0.2⁻= ?

1 Expansión decimal de un número racional

1.1 Expansión decimal finita

Definición: Si a₁, a₂ , ...., a_n , b₁, b₂ , ...., b_k son números naturales en el conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, entonces

a₁a₂....a_n . b₁ b₂ ....b_k := a₁∙10^(n-1) + a₂∙10^(n-2) + .... + a_n ∙10⁰ +b₁ ∙10^-1 + b₂ ∙10^-2+....+b_k∙10^-k

Ejemplo:

1.5=1∙10⁰   +  5∙10 ^-1

1.2 Expansión decimal no finita con periodo

Definición: Si a₁, a₂ , ...., a_n , b₁, b₂ , ...., b_k , c₁, c₂, ...., c_m son números naturales en el conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, entonces

a₁a₂....a_n . b₁ b₂ ....b_k (c₁ c₂.....c_m)^- := a₁∙10^(n-1) + a₂∙10^(n-2) + .... + a_n ∙10⁰ + b₁ ∙10^-1 + b₂ ∙10^-2+....+b_k∙10^-k+ c₁ ∙10^-(k+1)+ c₂∙10^-(k+2)+ .... + c_m ∙10^-(k+m) + c₁ ∙10^-(k+m+1) + c₂∙10^-(k+m+2)+ ....+ c_m ∙10^-(k+2m) ........

Ejemplo:

42.3(65)^-=4 ∙10¹ + 2∙10⁰  + 3∙10^-1  + 6∙10 ^-2 + 5∙10 ^-3 + 6∙10 ^-4 + 5∙10 ^-5  +  ..... +

2. Representación de un número racional a decimal

Representación decimal finita

Definición: El número racional a / b tiene representación decimal finita si en la

división

	c
	____
b	| a
	r

   

el resto r no se llega a repetir.

Ejemplo:

	0.5
	____
2	| 1
	0

 
1/2=0.5

Representación decimal no finita con período

Definición: El número racional a / b tiene representación decimal no finita con período si en la división

	c
	____
b	| a
	r

el resto r sí se llega a repetir.

Ejemplo:

	0.33...
	____
3	| 1
	1
	1
	1
	.
	.
	.

  
En este caso; 1/3 tiene una representación decimal 0.333... y el 3 es el período.
que puede encerrarse entre paréntesis (3)^- con una raya en la parte superior derecha, indicando que la cifra 3 es la que se repite.

1/3=0.(3)^-

3 Representación de un decimal a número racional

Representación racional de un decimal finito

Ejemplo:

A) 0.4=04 / 10 = 4/10

B) 0. 43=043 /10² =  43 / 100

C) 6.78= 6 + 78 / 10² = 678 / 100

D) 35.0697= 35 + 697 / 10⁴ = 350697 / 10000

Representación racional de un decimal no finito con período

Ejemplo 1:

A) 0.4(6)^- =  4 / 10 + 6 / (9 ∙ 10) = 4 / 10+ 6 / 90

B) 0. 43(78)^- = 43 / 10² + 78 / (99 ∙ 10²) = 43 / 10² + 78 / 9900

C) 6.781(235)^- = 6 + 781 / 10³ + 235 / (999 ∙ 10³) = 6781 / 1000 + 235 / 999000

Ejemplo 2.

 

Ejemplo 3.


1/89=0. (01123595505617977528089887640449438202247191)^-


Ejemplo 4.

4. Ejercicios para asesorías

a) Convertir de fracción a decimal

1.  5/7

2.  23 / 101

3.  12 / 7

4.  2 / 13

5.  5 / 37

B) Convertir de decimal a fracción

1.  0.202020....

2.  12.556

3.  1.(236)^-

4.  0.(38456)^-

5.  45.67(243)^-