4. Números naturales

1. El conjunto de las números naturales

Definición:

N={1,2,3,4,5,....} se llama el conjunto de los números naturales.

2. Propiedades de los números naturales

1. Cerradura El conjunto de los numero naturales N es cerrado bajo las operaciones de suma y multiplicación: +,× en símbolos respectivamente. Esto es, dados dos números naturales, la suma de esos dos números naturales es número natural y la multiplicación de esos dos números naturales es número natural.

Ejemplo: 3 y 4 son números naturales y 3 + 4 =7, también es número natural.

Ejemplo: 4 y 5 son números naturales y 4 × 5=20, también es número natural.

2. Conmutativa Si a y b son números naturales entonces

(2.1) a+b=b+a

(2.2) a×b=b×a

Ejemplo: 3 + 4 =7=4 + 3

Ejemplo: 4 × 5=20=5 × 4

3. Asociativa Si a, b y c son números naturales entonces se cumple

(3.1) a + ( b + c ) = ( a + b) + c

(3.2) a × ( b × c ) = ( a × b) × c

Ejemplo: 3 + ( 4 + 5)=12=(3 + 4) + 5

Ejemplo: 3 × ( 4 × 5)=60=(3 × 4) × 5

4. Distributiva Si a, b y c son números naturales entonces se cumple

a × ( b + c) = a × b + a × c

Ejemplo: 3 × ( 4 + 5)=27=12+15=3 × 4 + 3 × 5

5. Neutro multiplicativo Si a es un número natural, existe un número natural

denotado por 1 que cumple

a × 1=1 × a=a

Ejemplo: 3 × 1=3

6. Cancelación Si a, b y n son números naturales entonces se cumplen

(6.1) Si a + n = b + n entonces a = b.

(6.2) Si a × n = b × n entonces a = b.

7. Tricotomía Si a y b son números naturales, se cumple una y solo una de la

   siguientes desigualdades

   (7.1)                             a=b

   (7.2)                             a<b

   (7.3)                             b<a

Ejemplo: Para 5 y 3, se cumple únicamente la proposición: 3 < 5

8. Buen Orden Si S es un subconjunto no vacio del conjunto de los números naturales, entonces S tiene primer elemento

Ejemplo 1: Si S es el conjunto de de los números naturales, múltiplos de 4, entonces el primer elemento de S es el número 4.

Ejemplo 2: Si S es el conjunto de de los números naturales impares, entonces el primer elemento de S es el número 3.

Los números naturales se pueden construir mediante los axiomas de Peano.

4. Ejercicios para asesorías

Indicación: Escribir la propiedad que se describe en cada situación.

a) 7+4=4+7

b) 4 × 1=4

c) a × 3=b × 3 implica a=b

d) 4+(3+29)=(4+3)+29

e) El 5 es el primer elemento del subconjunto A={32, 34, 67, 7, 5, 36, 76, 78}

f) 3 × (14)=3 × 10 + 3 × 4