4. Números naturales

1. El conjunto de las números naturales

Definición:

N={1,2,3,4,5,....} se llama el conjunto de los números naturales.

2. Propiedades de los números naturales

1. Cerradura El conjunto de los numero naturales N es cerrado bajo las operaciones de suma y multiplicación: +,× en símbolos respectivamente. Esto es, dados dos números naturales, la suma de esos dos números naturales es número natural y la multiplicación de esos dos números naturales es número natural.

Ejemplo: 3 y 4 son números naturales y 3 + 4 =7, también es número natural.

Ejemplo: 4 y 5 son números naturales y 4 × 5=20, también es número natural.

2. Conmutativa Si a y b son números naturales entonces

(2.1) a+b=b+a

(2.2) a×b=b×a

Ejemplo: 3 + 4 =7=4 + 3

Ejemplo: 4 × 5=20=5 × 4

3. Asociativa Si a, b y c son números naturales entonces se cumple

(3.1) a + ( b + c ) = ( a + b) + c

(3.2) a × ( b × c ) = ( a × b) × c

Ejemplo: 3 + ( 4 + 5)=12=(3 + 4) + 5

Ejemplo: 3 × ( 4 × 5)=60=(3 × 4) × 5

4. Distributiva Si a, b y c son números naturales entonces se cumple

a × ( b + c) = a × b + a × c

Ejemplo: 3 × ( 4 + 5)=27=12+15=3 × 4 + 3 × 5

5. Neutro multiplicativo Si a es un número natural, existe un número natural

denotado por 1 que cumple

a × 1=1 × a=a

Ejemplo: 3 × 1=3

6. Cancelación Si a, b y n son números naturales entonces se cumplen

(6.1) Si a + n = b + n entonces a = b.

(6.2) Si a × n = b × n entonces a = b.

7. Tricotomía Si a y b son números naturales, se cumple una y solo una de la

   siguientes desigualdades

   (7.1)                             a=b

   (7.2)                             a<b

   (7.3)                             b<a

Ejemplo: Para 5 y 3, se cumple únicamente la proposición: 3 < 5

8. Buen Orden Si S es un subconjunto no vacio del conjunto de los números naturales, entonces S tiene primer elemento

Ejemplo 1: Si S es el conjunto de de los números naturales, múltiplos de 4, entonces el primer elemento de S es el número 4.

Ejemplo 2: Si S es el conjunto de de los números naturales impares, entonces el primer elemento de S es el número 3.

Observaciones:

1. El número cero puede considerarse como número natural. Por ejemplo, la civilización Maya consideraba al número cero para el cálculo del tiempo.

2. Con todas las propiedades, el conjunto de los naturales, se le conoce como un semianillo ordenado con unidad.

3. Juego

4. Ejercicios para asesorías

Indicación: Escribir la propiedad que se describe en cada situación.

a) 7+4=4+7

b) 4 × 1=4

c) a × 3=b × 3 implica a=b

d) 4+(3+29)=(4+3)+29

e) El 5 es el primer elemento del subconjunto A={32, 34, 67, 7, 5, 36, 76, 78}

f) 3 × (14)=3 × 10 + 3 × 4