4.3 Teorema fundamental de la aritmética

1. Divisibilidad y múltiplo

Definición 1: El número natural m divide al número natural n, si existe otro número natural p tal que:

Ejemplo: El número natural 3 divide al número natural 21, ya que existe otro número natural, a saber, 7 tal que 21=3 · 7

 
Definición 2: El número natural n es múltiplo del número natural m, si existe otro número natural q tal que:

Ejemplo: El número natural 45 es múltiplo del número natural 9, ya que existe otro número natural, a saber, 5 tal que 45=9 · 5


Observación: Sea n y m números naturales.  n es múltiplo de m si, y sólo si, m divide a n.
 

2. Algoritmo de la división

Ejemplo: Para 7 y 4, tenemos que 7=4 × 1 + 3

Observación:

1. En el algoritmo de la divisón, los números cociente y resto son únicos.
2. El número natural b divide al número natural a, si en el algoritmo de la división, el resto es cero.



Observación: Sea n un número natural .

1. El número natural 1, divide a n.
2. El número natural n, divide a n.
3. El número natural n, puede tener a lo más n divisores.

3. números en base n

4. Números primos

Definición 3: Un número natural p, con p >1, se llama número primo si tiene sólo dos divisores: 1 y p.

Ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, .... son todos ellos números primos.


Definición 4: Un número natural n, con n >1, se llama número compuesto si existen

números naturales n₁, n₂ >1,  tal que  n=n₁ · n₂


Ejemplo: 4, 6, 8, 10, .... son todos ellos números compuestos.


Proposición 5: Todo número natural no primo, es número compuesto.

Demostración:

Sea n un número natural que no es primo.

Por ser n un número no primo, tiene un divisor m, diferente de 1 y de n. 

Esto es; 1<m<n, tal que m divide a n.

Por lo tanto; existe otro número natural q tal que:


Afirmación: q>1.

La demostración es por contradicción, esto es, partiremos de una proposición que no sabemos si es verdadera o falsa. Posteriormente, mediante una argumentación correcta, llegaremos a una proposición FALSA. Lo que implica, que nuestra proposición inicial fue falsa.

Proposición: q=1. 

Entonces n =m < n,

es decir,

n<n

que es una proposición falsa. 

Por tanto; q>1.

Asi que: n= m · q, con m, q >1. Es decir; n es número compuesto

Proposición 6: Todo número natural n, con n>1 tiene un divisor primo.

Demostración:

Sea n un número natural.

Caso 1. n es número primo.

Puesto que n divide a n, se implica que n tiene divisor primo. Se termina la

demostración.

Caso 2. n es número compuesto.

Entonces n = n₁ · n₂  con  n > n₁>1  y n > n₂ >1

Caso 1.  Si n₁ ó n₂   es número primo, termina la demostración

Caso 2.  Sin perdida de generalidad, supongamos que n₁ es número compuesto.

Entonces n₁ = n₁₁ · n₂₁   con  n >n₁> n₁₁>1 

Caso 1.  Si n₁₁ ó n₂₁   es número primo, termina la demostración

Caso 2.  Sin perdida de generalidad supongamos que n₁₁ es número compuesto.

Entonces n₁₁ = n₁₁₁ · n₂₁₁   con  n >n₁> n₁₁>n₁₁₁>1 

Caso 1.  Si n₁₁₁ ó n₂₁₁   es número primo, termina la demostración

Caso 2.  Sin perdida de generalidad supongamos que n₁₁₁ es número compuesto.

Entonces n₁₁₁ = n₁₁₁₁ · n₂₁₁₁   con  n >n₁> n₁₁>n₁₁₁>n₁₁₁₁>1

Como se puede ver, este procedimiento no se puede hacer mas allá de n-2 veces,

puesto que sólo existen n-2 números naturales entre n y 1.

.......

.......

.......

Caso 1.  Si n_1111...1 ó n_2111....1   es número primo, termina la demostración

Caso 2.  Sin perdida de generalidad supongamos que n_1111...1 es número compuesto.

Entonces n_1111...1 = n_1111...11 · n_2111...11   con  n >n₁> n₁₁>n₁₁₁>....>n_1111...1 >n_1111...11>1

con n_1111...11  número primo.  Se termina la demostración.

Fin de la demostración.


Proposición 7: Supongamos que p₁, p₂, p₃, ..... , p_n son todos números primos y m= ( p₁· p₂ ·p₃ ·  .....  · p_n ) +  1.  Entonces m es más grande que cualquiera de esos

números primos.

Demostración:

Sea p_k un elemento del conjunto de números primos P= {p₁, p₂, p₃, ..... , p_n}.

Entonces:

p_k  ≤  p₁· p₂ ·p₃ ·  .....  · p_n  < ( p₁· p₂ ·p₃ ·  .....  · p_n ) +  1 =m

Es decir;  p_k< m.

Fin de demostración.


Proposición 8: Supongamos que p₁, p₂, p₃, ..... , p_n son todos números primos.

Entonces ninguno de ellos divide al número natural m= ( p₁· p₂ ·p₃ ·  .....  · p_n ) +  1

Demostración:


La demostración es por contradicción, esto es, partiremos de una proposición que no sabemos si es verdadera o falsa. Posteriormente, mediante una argumentación correcta, llegaremos a una proposición FALSA. Lo cual implica que, nuestra proposición inicial es falsa.

Proposición: Supongamos que existe un número primo p_k que divide a m. 

Entonces, existe un número natural j tal que:

m=p_k  ·  j                          [1]   

Por otro lado:

m=( p₁· p₂ ·.....· p_k ·  .....  · p_n )  +  1

m= p_k ( p₁· p₂ ·....· p_k-1· p_k+1·  .....  · p_n )  +  1

Si hacemos i= p₁· p₂ ·....· p_k-1· p_k+1·  .....  · p_n

Entonces:

m= p_k · i  + 1              [2]

Es decir, de [1] y [2] tenemos: 


p_k · i  + 1 = p_k  ·  j       [3]


Tenemos tres casos:

A)  i=j

lo que implica que:

1 = p_k · ( j - i )=0.

1=0  falso !

B) i > j

lo que implica que:

0= p_k · ( i - j )  + 1 > 1,

0 > 1  falso !

C) i < j

lo que implica que:

1 = p_k · ( j - i ) > 1.

1 > 1  falso!

Por lo tanto, no existe número primo que divida a m.

Fin de demostración.


Teorema 9: La cantidad de números primos no es finita.

Demostración del teorema:

La demostración es por contradicción, esto es, partiremos de una proposición que no sabemos si es verdadera o falsa. Posteriormente, mediante una argumentación correcta, llegaremos a una proposición FALSA. Lo cual implica que, nuestra proposición inicial es falsa.

Proposición: Existe una cantidad finita de números primos. [*]


Consideremos al conjunto P de todos los números primos:



Sea el número natural siguiente:

m= ( p₁· p₂ ·p₃ ·  .....  · p_n ) +  1

estos es, el producto de todos lo números primos más 1.

Por la proposición 8, este número cumple que ningún número primo del conjunto P,

divide a m, lo que implica que m es número primo. Pero por la proposición 7, m es más

grande que cualquier número primo del conjunto P, esto es, m no pertenece al conjunto

P.  Lo que contradice la definición de P, como el conjunto de todos los números

primos.

Por lo tanto, la proposición de que existe una cantidad finita de números primos es falsa.

Fin de la demostración del teorema.

5. Teorema fundamental de la aritmética

Teorema. Fundamental de la artimética.  Todo número natural se puede expresar de manera única como el producto de números primos.

Demostración:

Se sigue de la proposición 6.


Ejemplo 1.

a) 420=2² · 3 · 5 · 7 

b) 360= 2³ · 3² · 5¹

c) 14,941,080= 2³ · 3² · 5¹ · 7³ · 11²  

Ejemplo 2. Hallar dos números que multiplicados sean 1008 y, que restados den 8 .

Solución:

Factorando en producto de números primos al número 1008.

  1008  |2     
  504   |2     
  252   |2   
  126   |2     
   63    |3
   21    |3
    7    |7
    1
Considerando a= 36=2*2*3*3 y b=28=7*2*2

Tenemos que a*b=1008 y que a-b=8.

Ejemplo 3.




Ejemplo 4.




Ejemplo 5.

6. Ejercicios para asesorías

1. Hallar dos números que sumados den 17 y que multiplicados sean 60.

2. Escribir en factores primos, el número 110250.