8. Geometría Euclidiana

1. Generalidades

Definición: Sea una recta L, y un punto A sobre ella. El punto A divide a la recta L en dos semirrectas.

Definición: Un ángulo consta de dos semirrectas que tienen como origen un punto en común.

Definición: Un triángulo consta de tres puntos que no están sobre una misma recta y de tres segmentos que unen estos tres puntos dos a dos.


Definición. [triángulos semejantes]  El triángulo ∆ABC es semejante al triángulo ∆A'B'C' si existe una correspondencia entre los sus lados: AB con A'B',  BC con B'C',  CA con C'A' y se cumplen las dos condiciones de la figura de abajo.




Definición: Dos triángulos semejantes serán iguales si su proporción es igual a 1.  Esto es, si el número k, de la definición anterior es 1.

1.1. Cinco Postulados

I. Por dos puntos cualesquiera puede hacerse pasar una recta, y sólo una.


II. Toda recta puede prolongarse en ambos sentidos.


III. Es posible trazar una circunferencia dado su centro y radio: C(A, r).


IV. Todos los ángulos rectos (90°) son iguales entre sí.


V. [LAL] Dos triángulos son semejantes si existe un ángulo de uno de los triángulos que es igual a un ángulo del otro triángulo y, si los lados que forman dichos ángulos son proporcionales. 


Teorema: Dos rectas diferentes tienen a lo más un punto en común.

Prueba.  Por contradicción. Vamos a considerar la premisa (dos rectas diferentes) verdadera por definición y, que la conclusión es falsa (tienen más de un punto en común). Para llegar a una contradicción por lo que la conclusión deberá ser verdadera (Nunca una verdad implica una contradicción, ¡siempre que el argumento sea correcto!)

Sean L₁ y L₂ dos rectas diferentes. Supongamos que L₁ y L₂ tiene más de un punto en común. Esto es, podemos suponer que L₁ y L₂ tienen en común dos puntos diferentes p₁ y p₂. Por el primer postulado las rectas L₁ y L₂  son iguales. Esto es una clara contradicción a nuestra suposición. Por lo tanto, L₁ y L₂ no pueden tener más de un punto en común.

Corolario: Dos rectas diferentes que se cortan tienen un único punto en común.

Prueba. Se sigue del teorema anterior.


Teorema. [ALA] Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

Prueba. Sean ∆ABC y ∆A'B'C'. Sin perdida de generalidad podemos suponer que existe una correspondencia entre los lados: AB con A'B', BC con B'C', CA con C'A' y, además que <A =<A', <B=<B'.

Bien; podemos suponer que existe un número k tal que A'B' = k AB.  Veamos que B'C'=k BC.

Por el segundo postulado podemos prolongar el segmento B'C' en ambos lados hasta  hallar un punto C'' en el lado B'C' (C' y C'' pertenecen a la misma recta que define el segmento B'C') tal que:
B'C''=k BC.




Ahora bien, de cualquier modo, los triángulos ∆ABC y ∆A'B'C'' cumplen la condición del V. postulado. Por lo que entonces se cumple: <BAC=<B'A'C''.  Por la premisa tenemos <BAC=<B'A'C', por lo tanto: <B'A'C'=<B'A'C''. 

Por lo anterior se implica que C' y C'' pertenecen a la misma recta que define el segmento A'C'.

Por el primer postulado, las rectas definidas por los segmentos A'C' y B'C' tienen a lo más un punto en común. Puesto que estas rectas se cortan en el punto C', por el corolario, se implica que C'=C''.

Por lo tanto; B'C'=k BC.

Ahora bien; los ∆ABC y ∆A'B'C' cumplen las condiciones (AB con A'B' y BC con B'C' son propocionales y <ABC = <A'B'C') del quinto postulado (LAL). Así que son semejantes.  

Observacion: El teorema de semejanza de triángulos [ALA], es resultado del V postulado de semejanza de triángulos [LAL]. 

Lema [triángulo isósceles] Sea ∆ABC un triángulo dado.
A) Si dos lados del triángulo son iguales, los ángulos opuestos son iguales.
B) Si dos ángulos del triángulo son iguales, los lados opuestos a estos ángulos son iguales.

Prueba. 
A) Sea ∆ABC un triángulo en el que AC = BC. Veamos que <CAB=<CBA.
Para la demostración vamos a considerar al triángulo ∆ACB como el triángulo ∆BCA.  




Ahora bien, en los triángulos ∆ACB y ∆BCA se cumple que: AC=1 BC, CB=1 CA y <ACB=<BCA, es decir, se cumplen los condiciones del V postulado de semejanza [LAL], por lo que entonces se tiene que <CAB=<CBA. Lo que deseabamos demostrar.

B) Sea ∆ABC un triángulo en el que <CAB=<CBA.  Veamos que AC=BC.
Para la demostración vamos a considerar los triángulos ∆CAB y el triángulo ∆CBA.  




En este caso se cumple lo siguiente: <CBA=<CAB, <CAB=CBA y AB= BA. Es decir, se cumplen las condiciones del teorema de semejanza [ALA], por lo que entonces, AC=1 BC. Lo que queriamos demostrar.

Observacion: El lema del triángulo isósceles, es resultado del V postulado de semejanza de triángulos [LAL]. 


 
Teorema. [LLL] Dos triángulos son semejantes si sus tres lados correspondientes son proporcionales.

Prueba. Sean ∆ABC y ∆A'B'C'. Sin perdida de generalidad podemos suponer que existe una correspondencia entre los lados: AB con A'B', BC con B'C', CA con C'A' y, que existe un número k, tal que A'B'=k AB, B'C' = k BC, C'A' =k CA. Veamos que: <A' =<A, <B'=<B y <C'=<C.

Bien; en el lado opuesto del punto C' del segmento A'B' construyamos el ángulo <A'B'C''=<ABC, tal que B'C''=k BC y, finalmente trazar el segmento A'C''. Por el V. postulado de semejanza de triángulos [LAL], tenemos que ∆ABC y ∆A'B'C'' son semejantes, esto es, A'C''=k AC y

<A'C''B'=<ACB   (1)

Afirmación: <A'C'B'=<ACB

Para esto, veamos que <A'C''B'=<A'C'B'.

Tracemos el segmento C'C''

Caso 1. B' se encuentra fuera del  ∆A'C'C''.




Por la construcción tenemos: A'C''=k AC y por hipótesis, A'C'=k AC. Entonces, A'C''=A'C'. Puesto que se cumplen las condiciones del lema A) para el triángulo ∆A'C'C'' , entonces <A'C'C''=<A'C''C'.
Por la construcción tenemos: B'C''=k BC y por hipótesis, C'B'=k BC. Entonces B'C''=C'B'. Como que se cumplen las condiciones del lema A) para el triángulo ∆C'B'C'' , entonces <B'C'C''=<B'C''C'.
Por lo tanto, tenemos:

<A'C''B'=<A'C''C' + <B'C''C'=<A'C'C'' + <B'C'C''=<A'C'B'.

Por lo tanto;  <A'C''B'=<A'C'B'

Por la condición (1) de arriba, concluimos que: <ACB=<A'C'B'

Caso 2. B' se encuentra dentro del  ∆A'C'C''.




Por la construcción tenemos: A'C''=k AC y por hipótesis, A'C'=k AC. Entonces, A'C''=A'C'. Puesto que se cumplen las condiciones del lema A) para el triángulo ∆A'C'C'' , entonces <A'C'C''=<A'C''C'.
Por la construcción tenemos: B'C''=k BC y por hipótesis, C'B'=k BC. Entonces B'C''=C'B'. Como que se cumplen las condiciones del lema A) para el triángulo ∆C'B'C'' , entonces <B'C'C''=<B'C''C'.
Por lo tanto, tenemos:

<A'C''B'=<A'C''C' - <B'C''C'=<A'C'C'' - <B'C'C''=<A'C'B'.

Por lo tanto;  <A'C''B'=<A'C'B'

Por la condición (1) de arriba, concluimos que: <ACB=<A'C'B' 

Caso 3. B' se encuentra en el segmento C'C''.




Por la construcción tenemos: A'C''=k AC y por hipótesis, A'C'=k AC. Entonces, A'C''=A'C'. Puesto que se cumplen las condiciones del lema A) para el triángulo ∆A'C'C'' , entonces <A'C'C''=<A'C''C'.  Puesto que B' se en el segmento C'C'', entonces:

<A'C'B'= <A'C'C''=<A'C''C'=<A'C''B'

Por lo tanto;  <A'C''B'=<A'C'B'

Por la condición (1) de arriba, concluimos que: <ACB=<A'C'B' 

Ahora bien; por el V postulado de semejanza de triángulos [LAL], concluimos que los triángulos ∆ABC y ∆A'B'C' son semejantes.

Observacion: El teorema de semejanza de triángulos [LLL] , es resultado del V postulado de semejanza de triángulos [LAL]. 


Teorema [suma de los ángulos internos] La suma de los tres ángulos internos de cualquier triángulo es de dos ángulos rectos (180º)

Demostración:


Sean D, E y F los puntos medios de los segmentos BC, CA y AB respectivamente.

* En los triángulos ∆FDB y ∆ABC se cumplen las dos sigiuentes condiciones: FB=1/2(AB) [por construcción], <FBD=>ABC [mismo ángulo] y BD=1/2(BC) [por construcción]. Ahora, por el caso de semejanza de triángulos [LAL], entonces FD=1/2(AC) y <BFD=<A.

* En los triángulos ∆EAF y ∆ABC se cumplen las dos siguientes condiciones: EA=1/2(AC) [por construcción], <EAF=>CAB [mismo ángulo] y AF=1/2(AB) [por construcción]. Ahora, por el caso de semejanza de triángulos [LAL], entonces EF=1/2(CB) y <AFE=<B.

* En los triángulos ∆CED y ∆ABC se cumplen las dos siguientes condiciones: CE=1/2(AC) [por construcción], <ECD=<ACB [mismo ángulo] y CD=1/2(CB) [por construcción]. Entonces ED=1/2(AB).

Por lo tanto; AB/ED=BC/EF=AC/FD=2. Ahora bien; por el caso de semejanza [LLL], los triángulos ∆EDF y ∆ABC son semejantes, esto implica que, <EFD=<C, lo que implica que: <A+<B+<C=<BFD+<AFE+<EFD=180.

q.e.d

Observacion: El teorema de la suma de ángulos internos, es resultado del V postulado de semejanza de triángulos [LAL]. 

Lema: Los ángulos internos de cualquier triángulo son mayores a cero.

Demostración:

Consideremos un triańgulo ∆ABC



Corolario: En todo triángulo, el ángulo externo es mayor que cualquiera de sus dos ángulos internos opuestos.

Demostración:




Teorema. En todo triángulo se cumple:

Afirmación 1. Lado mayor se opone ángulo mayor.
Afirmación 2. Ángulo mayor se opone lado mayor.

Demostración:

Afirmación 1. En este caso se usa el teorema anterior, ver 2 de la imagen.




Afirmación 2. Se demuestra por prueba por contradición.



Teorema [Desigualdad del triángulo]. En todo triángulo, un sólo lado es menor que la suma de los otros dos lados.

Demostración:

Sea el ∆ABC, demostremos que AB < AC + BC

2. Teoremas de construcción

1. Teorema. Dado un segmento, es posible construir un triángulos equilatero cuyo lado es el segmento dado.


Demostración:

Sea AB el segmento.  Consideremos la recta L que contiene al segmento AB.  Consideremos las circunferencias C₁(A, AB) y C₂(B, BA).  Sea C en  C₁(A, AB) ∩ C₂(B, BA).  Tenemos que el triángulo ∆ABC es equilatero con lados iguales al lado AB.

 

2. Teorema. Dado un segmento, es posible construir una recta que lo bisecta


Demostración.



Sea AB el segmento.  Consideremos la recta L que contiene al segmento AB.  Consideremos la circunferencia C₁(A, AB) y la circunferencia C₂(B, BA).  Sean {C , D} = C₁(A, AB) ∩ C₂(B, BA). Trazamos el segmento CD. Sea M=CD ∩ AB. Ahora bien; los triángulos ∆ACD y ∆BCD son semejantes por tener sus tres lados iguales (LLL). Los que implica: <ACM = <MCB. Tenemos que los triángulos ∆ACM y ∆MCB son semejantes por el criterio (LAL). Lo que implica que: AM=MB.
Sea R la recta que contiene al segmento CD, entonces R bisecta al segmento AB.

Observación: La recta R es perpendicular a la recta L.

Efectivamente; los ángulos <AMC y <BMC son iguales. Además estos dos ángulos cumplen que: <AMC + <BMC=180 (suplementarios). Lo que implica que son ángulos rectos.


3. Teorema. Dado un una recta L y un punto P, fuera de ella, es posible construir una (sólo una) recta M que pase por P y sea perpendicular a L.



Demostración.

Sea L una recta y P un punto fuera de ella.  Consideremos una circunferencia C(P, r) tal que corte a la recta L. Sean {C , D} = C(P, r) ∩ L. Por el teorema 2, es posible trazar un punto Q que bisecta al segmento CD. Ahora bien; tenemos los triángulos ∆CPQ y ∆QPD, los cuales tienen sus tres lados correspondientes, iguales. Por el teorema de semejanza [LLL], estos dos triángulos son iguales. Ello implica que los ángulos <CQP y <DQP son iguales. Además estos dos ángulos cumplen que: <CQP + <DQP=180 (suplementarios). Lo que implica que son ángulos rectos. De esta manera, la recta M que contiene al segmento PQ es perpendicular a la recta L.

Para ver la unicidad.






4. Teorema. Dado un una recta L y un punto P, dentro de ella, es posible construir una (única) recta M que pase por P y sea perpendicular a L.

Demostración.



Sea L una recta y P un punto dentro de ella.  Consideremos una circunferencia C(P, r) tal
que corte a la recta L. Sean {C , D} = C(P, r) ∩ L. Por el teorema 2, es posible trazar una recta M que bisecta al segmento CD. Ahora bien; sea Q un punto de C(P, r) ∩ M.  Tenemos los triángulos ∆CQP y ∆PQD, los cuales tienen sus tres lados correspondientes, iguales. Por el teorema de semejanza [LLL], estos dos triángulos son iguales. Ello implica que los ángulos <CPQ y <DPQ son iguales. Además estos dos ángulos cumplen que: <CPQ + <DPQ=180 (suplementarios). Lo que implica que son ángulos rectos. De esta manera, la recta M que pasa por el punto P, es perpendicular a la recta L. 

Para la unicidad:





Teorema. Dado un una recta L y un punto P, fuera de ella, es posible construir una (sólo una) recta N que pase por P y sea paralela a L.

Demostración.


Sea L una recta y P un punto fuera de ella.  Por el teorema 3 es posible construir una (única) recta M, perpendicular a L y que pase por P. Por el teorema 4 es posible construir una (única) recta N, perpendicular a M y que pase por P. 
Finalmente; la recta N es paralela a la recta L y pasa por P.

2.1 Mediatriz

Definición: La recta L del teorema 2 se llama mediatriz del segmento AB.
Esto es, la recta que pasa por el punto medio del segmento AB y es perpendicular a este.

Lema [Mediatriz] El punto P está en la mediatriz de un segmento AB, si y sólo si, la distancia de P a cada uno de los extremos es la misma.

Demostración:

--->]



Sea P un punto en la mediatriz M, de AB. Por el teorema de semejanza LAL, se concluye que AP=PB.


<---]



Sea P un punto tal que AP=PB.

Sea M la recta que pasa por P y es perpendicular a la recta que contiene al segmento AB y sea el punto Q=M ∩ L.  

Se tienen los triángulos ∆AQP y ∆BQP.
 
Por hipótesis tenemos que <AQP = <BQP.

Por el inciso A del lema del triángulo isósceles, se tiene que <QAP = <QBP. 

Ahora bien; por el teorema de semejanza de triángulos [ALA], se concluye que AQ=BQ

Es decir, M pasa por el punto medio del segmento AB.

Por lo que; P está en la mediatriz de AB.

Teorema. Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto.

Demostración:





Sea el triángulo ∆ABC.

Sin perdida de generalidad consideremos dos mediatrices distintas, f y g  cualquiera del triángulo

∆ABC.

Es claro que las mediatrices f y g  se cortan en un punto F, ya que de lo contrario, f y g serían rectas paralelas, lo que implica que el ángulo <ABC=180°, por lo que los puntos A,B y C están sobre una misma recta, lo que contradice el hecho que ∆ABC, sea un triángulo.

Veamos que h, la perpendicular a  AC, que pasa por F corta al segmento AC en su punto medio.

Por el lema de las mediatrices tenemos que:

AF = FB  y FB= FC.

Es decir:

AF=FC.

Por el lema de la mediatriz, h es la mediatriz del segmento AC.

Definición: El punto en común de las mediatrices del triángulo se llama circuncentro.


Teorema [Circunferencia circunscrita a un triángulo]. Dado un triángulo, existe una circunferencia que pasa por sus tres vértices.

Demostración:

Por el teorema anterior el centro de la circunferecia es el circuncentro y el radio, la distancia del circuncentro a uno de sus vértices.

2.1 Consecuencias del teorema del ángulo central e inscrito

Una demostración alterna es la siguiente:






La primera consecuencia del teorema de ángulo central e inscrito, es el siguiente:




A continuación se muestra una demostración alterna sin usar el teorema del ángulo central e inscrito.

Teorema. Sea la circunferencia circunscrita al triángulo ∆ABC, con AC el diámetro de la circunferencia,  entonces el triángulo ∆ABC es rectángulo.

Demostración:




Tenemos que 2α +2β=180, es decir,  < B= α +β=90

 

Teorema. Sea la circunferecia circunscrita al triángulo ∆ABC, con AC el diámetro de la
circunferencia, BH la perpendicular a AC que pasa por B, AH=a y CH=1, entonces  BH=√a.



Demostración:   

Por el teorema anterior el triángulo ∆ABC es rectángulo. Los triángulos ∆ABH y ∆BHC son triángulos rectos.
Puesto que los triángulos ∆ABC y ∆ABH tienen en común dos ángulos, a saber, α y el ángulo recto H, por el teorema [ALA], estos son semejantes. De manera similar se demuestra que los triángulos  ∆ABC y ∆BHC son semejantes. Por lo tanto; los triángulos ∆ABH y ∆BHC son semejantes. Por lo que:

AH/BH=BH/CH

AH * CH= BH²

a = BH²

√a=BH
 

La segunda consecuencia del teorema del ángulo central e inscrito es:



La tercera consecuencia del teorema del ángulo central e inscrito es:




La cuarta consecuencia del teorema del ángulo central e inscrito es:



Un ejemplo de alicación es el siguiente:

2.2 Bisectriz

Definición: La distancia de un punto A a una recta L, es la distancia del segmento de recta que pasa por A y es perpendiclar a la recta L.

Lema [Bisectriz] El punto P está en la bisectriz del ángulo <ABC, si y sólo si, la distancia de P a cada uno de las semirrectas es la misma.

Demostración:

--->]




 
Sea P un punto en la bisectriz del ángulo <ABC. Trazamos las perpendiculares a cada una de las semirrectas, por lo que se forman dos triángulos que tienen dos ángulos iguales. Por el teorema de semejanza [ALA], se concluye que la distancia de P a cada uno de las semirrectas es la misma.


<---]



Sea el ángulo <AOB y P un punto tal que la distancia de P a cada uno de las semirrectas es la misma.

Tracemos la recta que va del origen O del ángulo <AOB y P.

Trazamos la perpendicular de P a cada una de las semirrectas con vértices en A' y B' respectivamente.
Por lo que tenemos una pareja de triángulos ∆A'OP y ∆B'OP con una pareja de catetos iguales y, la misma hipotenusa, por lo que entonces se concluye también que, tienen el otro par de catetos iguales.
Por el teorema de semejanza [LLL], los triángulos son iguales, esto es, los ángulos <A'OP y <B'OP son iguales y, por tanto, P está en la bisectriz del ángulo <AOB.
 
Teorema. Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto.

Demostración:





Sea el triángulo ∆ABC.

Sin perdida de generalidad consideremos dos bisectrices distintas, f y g  cualquiera del triángulo ∆ABC. Por ejemplo; f es la bisectriz del ángulo <ACB y g la bisectriz del ángulo <BAC.

Veamos que h es la bisectriz del ángulo <ABC.

Es claro que las bisectrices f y g  se cortan en un punto F, ya que de lo contrario, f y g serían rectas paralelas, lo que implica que el ángulo <ABC=180°, por lo que los puntos A,B y C están sobre una misma recta, lo que contradice el hecho que ∆ABC, sea un triángulo.

Veamos que h, la recta que pasa por F y B es la bisectriz del ángulo <ABC.

Por el lema de las bisectrices tenemos que:

La distancia del punto F a la semirrectas que contienen a BC y AC son la misma y, la distancia del punto F a la semirrectas que contienen a AC y AB son la misma.

Es decir:

La distancia del punto F a la semirrectas que contienen a BA y BC son la misma.

Por el lema de la bisectriz, h es la bisectriz del ángulo <ABC.

Definición: El punto en común de las bisectrices del triángulo se llama incentro. 

Corolario. Dado un triángulo, existe una circunferencia que es tangente por sus tres lados.

Demostración:




Por el teorema anterior el centro de la circunferecia es el incentro y el radio, la distancia del incentro a uno de sus lados.

Teorema Sea la circunferecia inscrita al triángulo rectángulo ∆ABC con a, b los catetos, c la hipotenusa y, r el radio de la circunferencia, entonces r = ab / (a+b+c) 

Demostración:

3. Ejercicios para asesorías

Con regla y compás construir lo siguiente:

1. Bisectar un ángulo dado.

2. √2