4.4 M.C.D y m.c.m

1. Máximo común divisor

Definición: Sean a y b números naturales. El máximo común divisor de a y b es el número natural más grande y divisor de ambos números.

se denota por:

Ejemplo 1. Sean 420 y 360.

MCD(360, 420)=60, y se obtiene así:

360   420 |2      360 y 420 son divisibles por el número primo 2
180   210 |2      180 y 210 son divisibles todavia por el número primo 2
 90   105 |3      90 y 105 son divisibles por el número primo 3
 30    35 |5      30 y 35 son divisibles por el número primo 5
   6     7|       6 y 7 ya no tienen divisores primos comunes, se termina.


60=2·2·3·5

Ejemplo 2.

Maria va a emprender un negocio de galletas. Ella hizo 64 galletas de chocolate, 48 de vainilla y 56 de elote. ¿Cuántos paquetes con la misma cantidad de galletas de cada tipo puede hacer?

Respuesta:

64  48  56 | 2
32  24  28 | 2
16  12  14 | 2
8    6   7 |


MCD(32, 24, 28)=8

64/8=8,   48/8=6,   56/8=7

Por lo tanto; Maria podrá hacer 8 paquetes que contengan: 8 galletas de chocolate, 6 galletas de vainilla y 7 galletas de elote.

Ejemplo 3.

Ejemplo 4.

2. Mínimo común múltiplo

Sean a y b números naturales. El número ab, es un número natural múltiplo común de a y de b. El principio del buen orden, nos permite hablar del mínimo común múltiplo de a y b.

Definición: Sean a y b números naturales. El mínimo común múltiplo de a y b es el número natural más pequeño y múltiplo de ambos números.

se denota por:

Ejemplo 1. Sean 420 y 360.

mcm(360, 420)=2520, y se obtiene así:

a) 420=2² · 3 · 5 · 7 

b) 360= 2³ · 3² · 5¹


2520=2·2·2·3·3·5·7

Ejemplo 2.

En la parada de la preparatoria de Topilejo, un autobus de la RTP pasa con una frecuencia de 25 minutos, un autobus de la ruta Xochimilco, cada 15 minutos y un autobus de la ruta Estadio Azteca, cada 8 minutos. ¿Dentro de cuántos minutos, como mínimo, se encontrarán en el paradero?

Solución:

a) 25=5²

b) 15= 3 · 5

c) 8=2³

m.c.m. (8, 15, 25) = 2³ · 3 · 5²   = 600

Por lo tanto; habrá que esperar 10 horas para que vuelvan a coincidir las tres rutas en el paradero de la prepa.

Ejemplo 3.

3. Ejercicios para asesorías

1. Juan ha iniciado un tratamiento médico para su alergia. Debe tomar tres  medicamentos distintos: unas pastillas, un jarabe y una crema. Las pastillas las debe tomar cada tres horas, el jarabe cada cuatro y la crema aplicarla cada dos horas. Si Juan tomó todos los medicamentos a las 7:00 de la mañana, ¿a qué hora los volverá a aplicar todos?

2. En el aeropuerto de Topilejo existen dos líneas aéreas que realizan vuelos a San
Martin durante todo el día. Los aviones de la primera línea aérea, despegan cada 10 minutos y los de la otra despegan cada 15 minutos. Si el primer vuelo de ambas líneas aéreas se realiza a las 8:00 a.m., ¿a qué hora vuelven a despegar juntos losaviones?

3. Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas y de naranjas y, además, el mayor número posible de cajas. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.

4. Un albañil debe colocar losetas cuadradas en un piso de un baño cuyas dimensiones son 270 cm y 300 cm. ¿Cuántas losetas enteras entrarán en dicho piso, si estas deben ser del mayor tamaño posible?

5. Si tienes que llenar 4 recipientes de capacidades 72, 24, 56 y 120 litros respectivamente. ¿Cuál es la capacidad del balde que puede usarse para llenarlos exactamente si está comprendida entre 2 y 8 litros?