7.2 Ecuaciones de primer grado
1. Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Definición: Una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que es verdadera para determinados valores de las incógnitas.Ejemplo:
3x2 + 1=28 , 4+x3=5, 2- x=5.
Definición: Una ecuación de primer grado con una incógnita es una ecuación en la que hay una sola incógnita con exponente 1.
Ejemplo:
3x=5 , 4+x=10, 2- x=5x+6.
2. Ejemplos
a) Resolver la siguiente ecuación:4 + x = 9 (1)
Solución: Sumamos -4 en cada lado de la ecuación (1)
-4 + (4 + x) = -4 + 9 (2)
Asociando términos en el lado izquierdo de la ecuación, tenemos:
(-4 + 4) + x = -4 + 9 (3)
por lo que:
0+x=5 (4)
Por la propiedad de neutro aditivo, tenemos:
x=5 (5)
La solución es x=5
Comprobación:
En la ecuación original: 4+x=9, sustituir x por 9.
4+ 5=9
9=9
Lo que es verdadero, por lo que la solución es correcta!
b) Resolver la siguiente ecuación:
5 · x = 30 (1)
Multiplicamos por el inverso multiplicativo de 5, esto es, 1 / 5 en cada lado de la ecuación (1)
1/5 · 5 · x = 1/5 · 30 (2)
Asociando términos en el lado izquierdo de la ecuación, tenemos:
(1/5 · 5 ) · x = 1/5 · 30/1 (3)
por lo que:
1 · x=30 / 5 (4)
Por la propiedad del neutro multiplicativo, tenemos:
x=6 (5)
La solución es x=6
Comprobación:
En la ecuación original: 5 · x = 30, sustituir x por 6.
5 · 6 = 30
30=30
Lo que es verdadero, por lo que la solución es correcta!
c) Resolver la siguiente ecuación:
3 · x + 2 = 3 (1)
Primero sumamos el inverso aditivo de 2, esto es, -2 en ambas partes de la ecuación (1)
3 · x + 2 + -2 = 3 + -2 (2)
Asociamos términos en cada lado de la ecuación:
3 · x + (2 + -2) = (3 + -2) (3)
Por la propiedad del inverso aditivo tenemos:
3 · x + 0 = 1 (4)
Por la propiedad del neutro aditivo tenemos:
3 · x = 1 (5)
Ahora; multiplicamos por el inverso multiplicativo de 3, esto es, 1 / 3 en cada lado de la ecuación (5)1/3 · 3 · x = 1/3 · 1 (6)
Asociando términos en el lado izquierdo de la ecuación, tenemos:
(1/3 · 3 ) · x = 1/3 · 1/1 (7)
por lo que:
1 · x=1 / 3 (8)
Por la propiedad del neutro multiplicativo, tenemos:
x=1/3 (8)
La solución es x=1/3, un número fraccionario.
Comprobación:
En la ecuación original: 3 · x+2 = 3, sustituir x por 1/3.
3 · 1/3 +2 = 3
1 + 2=3
3=3
Lo que es verdadero, por lo que la solución es correcta!
d) En un número de dos dígitos, cuya suma es 11, el de las decenas sobrepasa en 5 al de las unidades. Hallar ese número.
Solución:
x es el número de las unidades.
x+5 es el número de las decenas.
Por lo que entonces:
(x+5) + x=11
Asociando términos semejantes:
2x + 5=11,
Sumando -5 a cada lado de la ecuación:
2x=11+ -5
Haciendo las operacion de suma de enteros:
2x=6
Multiplicando por el inverso multiplicativo de 2:
1/2 · (2x)=1/2 · 6
Asociando para la multiplicación:
(1/2 · 2) x=1/2 · 6
Tenemos:
1x=3
Es decir:
x=3.
Por lo que el número de dos cifras es: 38
e) Resolver la ecuación: 2x+1=7
f) Resolver la ecuación: 6x-1=2x+1
g) Resolver:
h) Resolver:
i) Resolver:
3. Ejercicios para asesorías
1. Resolver 2x+8=7x-372. Resolver (1/7)x + (3/14)x-2=(1/14)x +2
3. Resolver 0.7x - 7=0.3x - 5
4. x/6 + x/5=11
5. ¿Cómo se pagaría una deuda de 700 pesos con 52 monedas, unas de 20 pesos y otras de 10 pesos?
6. ¿Cuál es el número cuyo tercio, sumado con su mitad, da 860?
7. En un huerto se ha plantado cierto número de árboles: la mitad de manzanos, la cuarta parte de perales, la sexta parte de duraznos, y por fin 50 ciruelos. Hallar el número de árboles plantados.
8. Un tercio menos un quinto de un número es igual a 2. Hállese el número.
9. Si un número disminuído de 3 se divide por 5, el resultado es el mismo que el de dividir por 6 el número aumentado de 3. Hállese el número.
10. Hallar la altura de la mesa, en el siguiente dibujo.
11. Hallar el número de tres dígitos tal que el dígito de las centenas sobrepasa al dígito de las decenas en 6 y el dígito de las unidades sobrepasa al dígito de las decenas en 3.