7.1 Operaciones con monomios

1. Término (Monomio)

Definición: Un término o un monomio es una expresion algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre si por las operaciones explicitas de suma o resta (+ o -)

Ejemplos:

-3n²,  (5/6)m⁶,  7a³b²c,  -4b⁵,  -2/3 a 

1.1 Componentes de un Monomio

Ejemplo: Sea el monomio 3a²b. Analicemos de cerca este monomio.

La parte 3 se le llamará coeficiente numérico y a la parte a²b se le llamará parte literal.

2. Términos semejantes

Definición: Términos semejantes ó monomios semejantes son aquellas expresiones algebraicas que tienen la misma parte literal; es decir, cuando tienen las mismas letras afectadas de iguales exponentes.

Ejemplos:

a)  -3n² y  (5/6)n²              b)   7a³b²c,  -4a³b²c  y  -2/3 a³b²c 

 

3. Operaciones con monomios

3.1 Suma de monomio-monomio

Ejemplo1: Sumar los monomios 3a² y 6a². Puesto que los monomios son semejantes, lo único que haremos es sumar los coeficientes numéricos, esto es, 3 y 6.

Así que:

3a² + 6a² = 9a²


Ejemplo2: Sumar los monomios 3a² y 6b². Puesto que los monomios NO son semejantes, lo que haremos es escribir los monomios con la operacion suma entre ellos.

Así que la suma de 3a² y 6b² se expresa simplemente por:

3.2 Resta monomio-monomio

Ejemplo1: Al monomio 12ba² restar el monomio 6ba². Puesto que los monomios son semejantes, lo único que haremos es restar al número 12 el número 6.

Así que:

12ba² - 6ba² = 6ba²

Ejemplo2: Restar al monomio 4a² el monomio 6b². Puesto que los monomios NO son semejantes, lo que haremos es escribir los monomios con la operacion resta entre ellos.

Así que la resta de 4a² y 6b² se expresa simplemente por:

3a² - 6b²

3.3 Multiplicación de monomio-monomio

Ejemplo1: Multiplicar los monomios 3a² y 6a². Puesto que los monomios son semejantes, lo que haremos es multiplicar los coeficientes numéricos y poner la misma parte literal con exponente, la suma de los exponentes de las partes literales de los dos monomios.

Así que:

3a² · 6a² = 18a⁴



Ejemplo2: Multiplicar los monomios 3a² y 6b². Puesto que los monomios NO son semejantes, lo que haremos es multiplicar los coeficientes numéricos de los monomios y poner las partes literales no semejantes con los mismos exponentes.

Así que la multiplicación de 3a² y 6b² se expresa simplemente por:

3 a² ·  6 b² = 18 a² b²

Ejemplo3: Multiplicar los monomios 3 a²b y 6 b². Puesto que los monomios NO son semejantes, lo que haremos es:

Procedimiento:

1) Multiplicar los coeficientes numéricos de los monomios.

3  ·  6 = 18

2) Se escriben todas las letras.

En nuestro caso a y b.
a  b

3) Para las letras que son comunes en los dos monomios, se le coloca como exponente, la suma de los exponentes de las dos letras comunes.

Puesto que b es la letra común a los dos monomios con exponentes 1 y 2 respectivamente, y como 1+2=3, entonces:

b³

4) Para las letras que no son comunes en los dos monomios, se le coloca el mismo exponente que tenian.

Puesto que a es la letra no común en los dos monomios y con exponente 2, entonces se queda como:

a²
 
Así que la multiplicación de 3a²b y 6b² se expresa como sigue:


3 a²b  ·  6 b² = 18 a² b³

3.4 Multiplicación monomio-polinomio

Ejemplo1: Multiplicar el monomio 3 a²b y el polinomio 4 a²+ 2 b³+ 1

Procedimiento: Vamos a emplear la propiedad distibutiva de la multiplicación bajo la suma.

1. Multiplicaremos el monomio 3a²b por cada uno de los monomios que conforman el polinomio 4 a²+ 2 b³+ 1.

3a²b · 4 a²  +  3a²b · 2 b³  + 3a²b · 1

12a⁴b   +  6a²b⁴  + 3a²b    
     
2. Reducir términos.
Puesto que no hay términos semejantes, se escribe igual.

12a⁴b   +  6a²b⁴  + 3a²b


Así que:

(3a²b) · ( 4 a²+ 2 b³+ 1) =12a⁴b   +  6a²b⁴  + 3a²b

3.5 División monomio-monomio

Ejemplo1: Dividir el monomio 9a⁵ entre el monomio 3a². Habrá que aclarar que al monomio, 9a⁵ se llamará monomio numerador y al monomio, 3a² monomio denominador.

Procedimiento:

1. Dividir el coeficiente numérico del monomio numerador entre el coeficiente numérico del monomio denominador.

9/3=3


2. Poner la misma parte literal con exponente, la resta de los exponentes de las partes literales de los dos monomios. Nota: El exponente es la resta del exponente de la parte literal del monomio numerador con el exponente de la parte literal del monomio denominador.

Puesto que 5-2=3

a⁵ / a² = a³

Así que:

9a⁵ / 3a² = 3a³

Ejemplo2: Dividir el monomio 9a⁵b³ entre el monomio 3a².

Procedimiento:

1. Dividir el coeficiente numérico del monomio numerador entre el coeficiente numérico del monomio denominador.

9/3=3


2. Poner la parte literal común a los dos monomios con exponente, la resta de los exponentes de las partes literales de los dos monomios. Nota: El exponente es la resta del exponente de la parte literal del monomio numerador con el exponente de la parte literal del monomio denominador.

Puesto que a es la letra en común con los dos monomios y, puesto que 5-2=3. Se escribe:

a⁵ / a² = a³

3. Poner la letra que no es común.

Puesto que b es la letra no común a los dos monomios con exponente 3. Se escribe igual.

b³


Así que:

9 a⁵ b³ / 3 a² = 3 a³ b³

3.6 División polinomio entre monomio

Ejemplo1: Dividir el polinomio 9 a³+ 6 a²+ 1a entre el monomio 3 a.  

Procedimiento:

1. Dividiremos el monomio 3a por cada uno de los monomios que conforman el polinomio 9 a³+ 6 a²+ 1a.

9a³/ 3 a  +  6a² / 3 a  + 1a / 3a

3a²           +  2a¹         + (1/3)a⁰
  
     
2. Reducir términos.
Puesto que no hay términos semejantes, se escribe igual. Nota: a⁰ =1.
3a²          +  2a¹         + (1/3)


Así que:

( 9 a³+ 6 a²+ 1a) / 3 a =3a² + 2a¹ + (1/3)

4. Reducción de términos semejantes

Definición: Reducción de términos semejantes es una operación, suma o resta, que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes

Ejemplo:

a)  3a + 2a=5a
b)  -5b-8b=-13b
c)  x+3x=4x
d)  a/2+ a/3=(5/6)a
e)  3a² + 5a²= 8a²

5. Ejercicios para asesorías

A) Reducir términos semejantes

1.   4ab² + 7ab²  + ab²

2.   -7b -5b+b

3.   (2/5)m + (1/10)m

4.   6ab³ - 5ab³  + 4ab³    

5.   (5/6)b² + (3/4)b²

B) Multiplicar los siguientes monomios

1.   4a³b²  y  7a²b

2.   -7b⁴  y  -5b

3.   (2/5)m²  y  (1/10)m³

4.   6a³b³  y  - 5a²b⁴ 

5.   (5/6)b³ y  (3/4)b²

C) Multiplicar el monomio y el polinomio.

1.   4ab² y  (7a²b³  + ab)

2.   -7b y ( -5b⁴+b²)

3.   1/3  y  [ (2/5)m³ + (1/10)m]

4.   2ab   y  (6a²b³ - 5ab³  + 4b³ )

5.  3/2 b  y  [ (5/6)b³ + (3/4)b² ]

D) Dividir los siguientes monomios

1.   24a⁵b⁴ / 4a³b²

2.   77b⁵ / -11b²

3.   (2/5)m⁶n³  /  (1/10)m

4.   -35a⁷b⁵  / - 7ab³    

5.   (5/6)b⁵ / (3/4)b²


E) Dividir el polinomio entre el monomio

1.  ( 18a⁴b³ + 12a²b²  + 9ab ) / 3 ab

2.  ( -7ab⁴ -5b^-3+bc ) / b

3.  [ (2/5)m³n + (1/10)mn ] / (1/3) m

4.   ( 6ab⁴- 12ab³  + 4ab² ) / 2ab²

5.  [ (5/6)b² + (3/4)b + 1 ] / (2/3) b