5.2 Propiedades de los enteros

1. Propiedades de números enteros

1. Cerradura El conjunto de los numero enteros Z es cerrado bajo Las operaciones × y +. Esto es, dados dos números enteros, la suma es un número entero y la multiplicación es un número entero.

Ejemplo: 3 y -4 son números enteros y 3 + (-4) =-1, también es número entero.

Ejemplo: 4 y -5 son números enteros y 4 × (-5)=-20, también es número entero.

2. conmutativa Si a y b son números enteros entonces

(2.1) a+b=b+a

(2.2) a×b=b×a

Ejemplo: 3 + (-4) =-1=(-4) + 3

Ejemplo: 4 × (-5)=-20=(-5) × 4

3. Asociativa Si a, b y c son números enteros entonces se cumple

(3.1) a + ( b + c ) = ( a + b) + c

(3.2) a × ( b × c ) = ( a × b) × c

Ejemplo: (-3) + ( 4 + 5)=6=(-3 + 4) + 5

Ejemplo: (-3) × ( 4 × 5)=-60=((-3) × 4)) × 5

4. Distributiva Si a, b y c son números enteros entonces se cumple

a × ( b + c) = a × b + a × c

Ejemplo: (-3) × ( 4 + 5)=-27=(-12)+(-15)=((-3) × 4) + ((-3) × 5)

5. Neutro multiplicativo Si a es un número entero, existe un número entero

denotado por 1 que cumple

a×1=a

Ejemplo: -3 × 1=-3

6. Neutro aditivo Para todo número entero a existe un número entero 0 tal que se cumple

a+0=0+a=a

Ejemplo: -3 + 0 = 0 + -3= -3

7. Inverso aditivo Si a es un número entero entonces existe un único número entero -a tal que se cumple

a+-a=-a+a=0

Ejemplo: -3 + 3 = 3 + -3=0

8. Cancelación Si a, b y n son números enteros entonces se cumplen

(8.1) Si a + n = b + n entonces a = b.

(8.2) Si n ≠ 0 y a × n = b × n entonces a = b.

9. Tricotomía Si a y b son números enteros, se cumple una y sólo una de la

   siguientes desigualdades

   (9.1)                             a=b

   (9.2)                             a<b

   (9.3)                             b<a

Ejemplo: Para -5 y 3, se cumple únicamente la proposición: -5 < 3

Proposición: Si a es un número entero, entonces -(-a)=a

Demostración: Sea a un número entero.

Por un lado tenemos que el número entero -a cumple que:

a + -a=0

Por otro lado, el número entero -(-a) cumple que:

-(-a) + -a=0

Por la unicidad de la propiedad del inverso aditivo para el número entero -a, se concluye que:

-(-a)=a

Observaciones:

1. El conjunto de los números naturales está contenido en el conjunto de los números enteros.

2. En el conjunto de los números enteros aparece la propiedad de inverso aditivo.

3. En el conjunto de los números enteros deja de cumplirse la propiedad del buen orden.

4. Al conjunto de los números enteros junto con sus propiedades, se le llama anillo ordenado con unidad.

2. Juegos

3. Ejercicios para asesoría.

1 ) Indicación: Escribir la propiedad que se describe en cada situación.

a) 7 + 4= 4 + 7

b) 4 × 1=4

c) a × 3=b × 3 implica a=b

d) 4+(3+29)=(4+3)+29

e) 5 + 0 = 5

f) 3 × (14)=3 × 10 + 3 × 4

g) 6 + -6 = 0