4. Números naturales
1. El conjunto de las números naturales
Definición:N={1,2,3,4,5,....} se llama el conjunto de los números naturales.
2. Propiedades de los números naturales
1. Cerradura El conjunto de los numero naturales N es cerrado bajo las operaciones de suma y multiplicación: +,× en símbolos respectivamente. Esto es, dados dos números naturales, la suma de esos dos números naturales es número natural y la multiplicación de esos dos números naturales es número natural.
Ejemplo: 3 y 4 son números naturales y 3 + 4 =7, también es número natural.
Ejemplo: 4 y 5 son números naturales y 4 × 5=20, también es número natural.
2. Conmutativa Si a y b son números naturales entoncesEjemplo: 3 y 4 son números naturales y 3 + 4 =7, también es número natural.
Ejemplo: 4 y 5 son números naturales y 4 × 5=20, también es número natural.
(2.1) a+b=b+a
(2.2) a×b=b×a
(2.2) a×b=b×a
Ejemplo: 3 + 4 =7=4 + 3
Ejemplo: 4 × 5=20=5 × 4
3. Asociativa Si a, b y c son números naturales entonces se cumple
(3.1) a + ( b + c ) = ( a + b) + c
(3.2) a × ( b × c ) = ( a × b) × c
(3.2) a × ( b × c ) = ( a × b) × c
Ejemplo: 3 + ( 4 + 5)=12=(3 + 4) + 5
Ejemplo: 3 × ( 4 × 5)=60=(3 × 4) × 5
4. Distributiva Si a, b y c son números naturales entonces se cumple
a × ( b + c) = a × b + a × c
Ejemplo: 3 × ( 4 + 5)=27=12+15=3 × 4 + 3 × 5
5. Neutro multiplicativo Si a es un número natural, existe un número natural
denotado por 1 que cumple
a × 1=1 × a=a
Ejemplo: 3 × 1=36. Cancelación Si a, b y n son números naturales entonces se cumplen
(6.1) Si a + n = b + n entonces a = b.
(6.2) Si a × n = b × n entonces a = b.
7. Tricotomía Si a y b son números naturales, se cumple una y solo una de la(6.2) Si a × n = b × n entonces a = b.
siguientes desigualdades
(7.1) a=b
(7.2) a<b
(7.3) b<a
Ejemplo: Para 5 y 3, se cumple únicamente la proposición: 3 < 5(7.2) a<b
(7.3) b<a
8. Buen Orden Si S es un subconjunto no vacio del conjunto de los números naturales, entonces S tiene primer elemento
Ejemplo 1: Si S es el conjunto de de los números naturales, múltiplos de 4, entonces el primer elemento de S es el número 4.
Ejemplo 2: Si S es el conjunto de de los números naturales impares, entonces el primer elemento de S es el número 3.
Los números naturales se pueden construir mediante los axiomas de Peano.
4. Ejercicios para asesorías
Indicación: Escribir la propiedad que se describe en cada situación.a) 7+4=4+7
b) 4 × 1=4
c) a × 3=b × 3 implica a=b
d) 4+(3+29)=(4+3)+29
e) El 5 es el primer elemento del subconjunto A={32, 34, 67, 7, 5, 36, 76, 78}
f) 3 × (14)=3 × 10 + 3 × 4